一、定义 一个醉汉在一条笔直的公路随机游走，每一步都以 50% 的概率向前移动一步：\(+1\)，或向后移动一步：\(-1\)，即每一步都是一个独立的随机变量，记为 \(Z_{1},Z_{2},\dots\)。 设 \(S_{0}=0\)，\(S_{n}=\sum\limits_{j=1}^{n}Z_{j}\)，则级数 $ {S_{n}}$ 称为 \(\mathbb {Z}\) 上的简单随机游走。显然 \(-n\leqslant S_n \leqslant n\)。 在 \(n\) 步随机游走中，醉汉恰有 \(k\) 次向前移动的概率为 \(P_k:=P(\text{恰有}k\text{个}Z_i=1)=\dbinom{n}{k}\dfrac{1}{2^n}\)，此时 \(S_n=2k-n\)，所以一维随机游走中离原点的平均距离为： \[ E(|S_n|)=\dfrac{1}{2^n}\sum_{k=0}^n\dbinom{n}{k}\left|2k-n\right| \]

1. 特征函数 1.1 介绍 特征函数是研究随机变量分布的一个重要工具。由于分布和特征函数之间存在一一对应关系，因此在得知随机变量的特征函数后，就可以知道它的分布。用特征函数求随机变量的分布律比直接求随机变量的分布容易得多，而且特征函数具有良好的分析性质。 特征函数的定义：设随机变量的分布函数为\(F(x)\)，称 \[ g(t)=E[\mathrm{e}^{\mathrm{i}tx}]=\int_{-\infty}^{+\infty}{\mathrm{e}^{\mathrm{i}tx}}\mathrm{d} F(x),\qquad -\infty<t<+\infty \] 为\(X\)的特征函数。 特征函数\(g(t)\)是实变量\(t\)的复值函数，由于\(|\mathrm{e}^{\mathrm{i}tx}|=1\)，故随机变量的特征函数必然存在。