周期函数介绍 定义 【周期函数】对于实函数\(f(x)\)，如果\(\exists T\neq0\)对\(\forall x\)有\(f(x+T)=f(x)\)，则\(f(x)\)为周期函数，\(T\)为\(f\)的一个周期。 【最小正周期】在函数\(f\)所有大于零的周期中，最小的周期为该函数的最小正周期。常函数虽然是周期函数，但无最小正周期。 基本性质 从周期函数的定义出发，直接可以得到以下两个重要性质： 周期函数的定义域，肯定不是有限区间，至少有一侧是无穷的； 非常数周期函数的周期，必然都是其最小正周期的整数倍（可以是负整数倍）； 如果\(T_1\neq0,\;T_2 \neq 0\)都是函数\(f\)的周期，且\(\begin{aligned}\frac{T_1}{T_2}\notin \mathbb Q\end{aligned}\)，则函数\(f\)不存在最小正周期，是一个常数函数； 若\(f\)是一个周期函数，且\(T\)是它的一个周期，则对\(\forall a_1,a_2,t_1,t_2\in \mathbb R\)，函数\(h(x)=a_1 f(x+t_2)+a_2 f(x+t_2)\)依然是一个周期函数，且\(T\)依然是它的一个周期。 例题 【题目】设\(f(x)=\sin(\sqrt{3}x)\)，\(g(x)=\sin(\sqrt{5}x)\)，\(h(x)=f(x)+g(x)\)，讨论\(h(x)\)的周期性。