一、问题重述与求解
- 随机数：\(X_k\sim \mathbf{U}(0,1)\)。
- n 个随机数之和恰能超过 1 的概率表达为数学语言为：\(P\{\sum_\limits{k=1}^nX_k>1 \bigcap \sum_\limits{k=1}^{n-1}X_k\leqslant1\}\)，即前 n-1 个随机数之和未超过 1，在加入第 n 个随机数后，各随机数之和恰好超过 1。
因此，原问题就是求以下分布列（参见附录）定义的随机变量 N 的期望：
| 随机数的个数 N | 1 | 2 | 3 | …… | k | …… |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(P\{\sum_\limits{k=1}^nX_k>1 \bigcap \sum_\limits{k=1}^{n-1}X_k\leqslant1\}\) | 0 | \(\dfrac{2-1}{2!}\) | \(\dfrac{3-1}{3!}\) | …… | \(\dfrac{k-1}{k!}\) | …… |
\[ \mathbb{E}(N)=\sum_{k=1}^\infty k\times\dfrac{(k-1)}{k!}=\sum_{k=2}^\infty\dfrac{1}{(k-2)!}=\mathbf{e} \]
所以，平均要取 \(\mathbf{e}\) 个区间 (0, 1) 中的随机数才能让和超过 1（计算期望的最后一个等式，可由 \(\mathbf{e}^x\) 的泰勒式得到）。
注：n 个相互独立的服从于均匀分布的随机变量的和 \(\sum X_k\) 服从 Irwin–Hall distribution 分布。 - 证明：The_Irwin-Hall_Distribution - 资料： Irwin–Hall distribution - 相关分布（n 个相互独立的服从于均匀分布的随机变量的平均值）：Bates_distribution
二、附录
首先，n 个随机数之和不超过 1 的概率 \(P\{\sum_\limits{k=1}^nX_k\leqslant1\}=\dfrac{1}{n!}\)，等于 n 维单位单纯形的体积（体积计算方法参见：华东师大第三版《数学分析》第二十一章第7节例1，P262）。
因此，n 个随机数之和超过 1 的概率 \(P\{\sum_\limits{k=1}^nX_k>1\}=1-\dfrac{1}{n!}\)。
所以，n 个随机数之和恰能超过 1 的概率 \(p_n=P\{\sum_\limits{k=1}^nX_k>1 \bigcap \sum_\limits{k=1}^{n-1}X_k\leqslant1\}=\left(1-\dfrac{1}{n!}\right)-\left(1-\dfrac{1}{(n-1)!}\right)=\dfrac{n-1}{n!}\)，前 n-1 个随机数之和不超过 1 并且 n个随机数之和超过 1。
如下表所示：
| 说明 | 随机数的个数 N | 1 | 2 | 3 | …… | k | …… |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 之和不超过 1 | \(P\{\sum_\limits{k=1}^nX_k\leqslant1\}\) | 1 | \(\dfrac{1}{2!}\) | \(\dfrac{1}{3!}\) | …… | \(\dfrac{1}{k!}\) | …… |
| 之和超过 1（无条件） | \(P\{\sum_\limits{k=1}^nX_k>1\}\) | 1-1 | \(1-\dfrac{1}{2!}\) | \(1-\dfrac{1}{3!}\) | …… | \(1-\dfrac{1}{k!}\) | …… |
| 之和恰超过 1 | \(P\{\sum_\limits{k=1}^nX_k>1 \bigcap \sum_\limits{k=1}^{n-1}X_k\leqslant1\}\) | 0 | \(\dfrac{2-1}{2!}\) | \(\dfrac{3-1}{3!}\) | …… | \(\dfrac{k-1}{k!}\) | …… |
参考1：http://www.matrix67.com/blog/archives/3507
参考2：http://www.mostlymaths.net/2010/08/and-e-appears-from-nowhere.html
