周期函数介绍
定义
【周期函数】对于实函数\(f(x)\)，如果\(\exists T\neq0\)对\(\forall x\)有\(f(x+T)=f(x)\)，则\(f(x)\)为周期函数，\(T\)为\(f\)的一个周期。
【最小正周期】在函数\(f\)所有大于零的周期中，最小的周期为该函数的最小正周期。常函数虽然是周期函数，但无最小正周期。
基本性质
从周期函数的定义出发，直接可以得到以下两个重要性质：
周期函数的定义域，肯定不是有限区间，至少有一侧是无穷的；
非常数周期函数的周期，必然都是其最小正周期的整数倍（可以是负整数倍）；
如果\(T_1\neq0,\;T_2 \neq 0\)都是函数\(f\)的周期，且\(\begin{aligned}\frac{T_1}{T_2}\notin \mathbb Q\end{aligned}\)，则函数\(f\)不存在最小正周期，是一个常数函数；
若\(f\)是一个周期函数，且\(T\)是它的一个周期，则对\(\forall a_1,a_2,t_1,t_2\in \mathbb R\)，函数\(h(x)=a_1 f(x+t_2)+a_2 f(x+t_2)\)依然是一个周期函数，且\(T\)依然是它的一个周期。
例题
【题目】设\(f(x)=\sin(\sqrt{3}x)\)，\(g(x)=\sin(\sqrt{5}x)\)，\(h(x)=f(x)+g(x)\)，讨论\(h(x)\)的周期性。
【解析】
假设\(h(x)\)是周期函数，期周期为\(T>0\)，则对\(\forall x \in \mathbb R\)有：
\[ \begin{align} h(x+T)&\equiv h(x)&\text{定义}\\ \notag\\ \sin\left[\sqrt{3}(x+T)\right]+\sin\left[\sqrt{5}(x+T)\right]&\equiv \sin(\sqrt{3}x)+\sin(\sqrt{5}x)&\text{代入}\\ \notag\\ \sin\left[\sqrt{3}(x+T)\right]-\sin(\sqrt{3}x) &\equiv -\left\{ \sin\left[\sqrt{5}(x+T)\right]+\sin(\sqrt{5}x) \right\} & \text{移项}\\ \notag\\ 2\cos\frac{\sqrt{3}(2x+T)}{2}\sin\frac{\sqrt{3}T}{2} &\equiv -2\cos\frac{\sqrt{5}(2x+T)}{2}\sin\frac{\sqrt{5}T}{2} & \text{和差化积公式} \end{align} \]
对于式(4)，如果\(\begin{aligned}\sin\frac{\sqrt{3}T}{2}\neq 0\end{aligned}\)，则左侧函数的最小正周期是\(\begin{aligned}\frac{\pi}{\sqrt{3}}\end{aligned}\)；如果\(\begin{aligned}\sin\frac{\sqrt{5}T}{2}\neq 0\end{aligned}\)，则右侧函数的最小正周期是\(\begin{aligned}\frac{\pi}{\sqrt{5}}\end{aligned}\)，显然，只要有一个系数不为零恒等式(4)就不成立。
因此，若要式(4)成立，则必有\(\begin{aligned}\sin\frac{\sqrt{3}T}{2}=\sin\frac{\sqrt{5}T}{2}=0\end{aligned}\)，所以\(\exists k_1,k_2\in\mathbb Z\)使得\(\begin{aligned}\frac{\sqrt{3}T}{2}=k_1\pi \;\text{且}\;\frac{\sqrt{5}T}{2}=k_2\pi\end{aligned}\)，由于\(T>0\)，将两等式相除得：
\[ \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}=\frac{k_1}{k_2} \]
显然，式(5)左侧是无理数，右侧是有理数，等式(5)不成立，综上\(h(x)\)不是周期函数。
一般性结论
【结论】设两个非常数周期函数\(f_1,\;f_2\)的有相同的定义域\(\mathbb D\)，它们的最小正周期分别为\(T_1,\;T_2\)，则有：
当\(\begin{aligned}\frac{T_1}{T_2}=\frac{n_1}{n_2}\in \mathbb Q\end{aligned}\)时，\(f(x)=f_1(x)+f_2(x)\)是周期函数（包括常函数），且\(T=n_1n_2t\)是\(f(x)\)的一个周期（但\(T\)一般不是其最小正周期，其中\(n_1,\;n_2\)是不可约的正整数，\(t=T_1/n_1=T_2/n_2\in\mathbb R\)，是\(T_1\;T_2\)的最大公因子）；
当\(\begin{aligned}\frac{T_1}{T_2}\notin \mathbb Q\end{aligned}\)时，\(f(x)=f_1(x)+f_2(x)\)不是周期函数。
【证明】
证明1.
对\(\forall x\in \mathbb D\)有：
\[ \begin{align} f(x+T)-f(x)&=f_1(x+T)-f_1(x)+f_2(x+T)-f_2(x)\\ &=f_1(x+n_2T_1)-f_1(x)+f_2(x+n_1T_2)-f_2(x)\notag\\ &=0-0\notag\\ &=0\notag \end{align} \]
所以\(f\)是周期函数，且\(T=n_1n_2t=n_2T_1=n_1T_2\)是其一个正周期。需要注意的是\(T\)不一定是其最小正周期，此外\(f\)也可能是一个常数函数。
证明2.
首先，由于\(\begin{aligned}\frac{T_1}{T_2}\notin \mathbb Q\end{aligned}\)，所以\(f\)必然不是常数函数，下面使用反证法。
假设\(f\)是一个周期函数，\(T\)是它的最小正周期，那么对\(\forall x\in \mathbb D\)有：
\[ \begin{align} f(x+T)&\equiv f(x)\notag\\ &\Updownarrow\notag\\ f_1(x+T)+f_2(x+T)&\equiv f_1(x)+f_2(x)\notag\\ &\Updownarrow\notag\\ f_1(x+T)-f_1(x)&\equiv -\left[f_2(x+T)-f_2(x)\right]\\ \end{align} \]
由性质4，\(T_1\)是式(7)左侧的一个周期，\(T_2\)是式(7)右侧的一个周期，而\(\begin{aligned}\frac{T_1}{T_2}\notin \mathbb Q\end{aligned}\)，由性质3可以推断式(7)为常数，如果该常\(C\neq0\)，则有\(f_1(nT)=f_1(0)+nC,\;n\in \mathbb N^+\)，则\(f_1\)不是周期函数，这于题意矛盾，所以式(7)恒等于0，即由于\(T\)同时是\(f_1\)和\(f_2\)的周期，但\(T\)不可能即是\(T_1\)的整数倍又是\(T_2\)的整数倍，证毕。
