1. 特征函数
1.1 介绍
特征函数是研究随机变量分布的一个重要工具。由于分布和特征函数之间存在一一对应关系，因此在得知随机变量的特征函数后，就可以知道它的分布。用特征函数求随机变量的分布律比直接求随机变量的分布容易得多，而且特征函数具有良好的分析性质。
特征函数的定义：设随机变量的分布函数为\(F(x)\)，称 \[ g(t)=E[\mathrm{e}^{\mathrm{i}tx}]=\int_{-\infty}^{+\infty}{\mathrm{e}^{\mathrm{i}tx}}\mathrm{d} F(x),\qquad -\infty<t<+\infty \]
为\(X\)的特征函数。
特征函数\(g(t)\)是实变量\(t\)的复值函数，由于\(|\mathrm{e}^{\mathrm{i}tx}|=1\)，故随机变量的特征函数必然存在。
特征函数具有以下性质：
\(g(0)=1\)，\(|g(t)|\leqslant 1\)，\(g(-t)=\overline{g(t)}\)；
\(g(t)\)在\((-\infty,+\infty)\)上一致连续；
若随机变量\(x\)的\(n\)阶矩\(EX^n\)存在，则\(x\)的特征函数\(g(t)\)可微分\(n\)次，且当\(k\leqslant n\)时，有\(g^{(k)}(0)=\mathrm{i}^kEX^k\)；
\(g(t)\)是非负定函数。即对任意正整数\(n\)及任意实数\(t_1,t_2,\cdots,t_n\)和复数\(z_1,z_2,\cdots,z_n\)，有
\[ \sum_{k,l=1}^{n}{g(t_k-t_l)z_k\overline{z_l}}\geqslant0; \]
若\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是相互独立的随机变量，则\(X=X_1+X_2+\cdots+X_n\)的特征函数；
\[ g(t)=g_1(t)g_2(t)\cdots g_n(t); \]
其中\(g_i(t)\)是随机变量\(X_i\)的特征函数，\(i=1,2,\cdots,n\)；
随机变量的分布函数由其特征函数唯一确定；
设随机变量\(X\)的特征函数为\(g_X(t)\)，\(Y=aX+b\)，其中\(a,b\)为任意实数，则\(Y\)的特征函数为
\[ g_Y(t)=\mathrm{e}^{\mathrm{i}tb}g_X(at). \]
1.2 常见随机变量的数学期望、方差和特征函数表
| 分布名称 | 分布律或概率密度 | 期望 | 方差 | 特征函数 |
|---|---|---|---|---|
| 0-1分布 | \(\begin{align}&P(X=1)=p,\quad P(X=0)=q\\&0<p<1,\quad p+q=1\end{align}\) | \(p\) | \(pq\) | \(q+p\mathrm{e}^{\mathrm{i}t}\) |
| 二项分布 | \(\begin{align}&P(X=k)=C_n^kp^kq^{n-k}\\&0<p<1,\quad p+q=1,\quad k=0,1,\cdots,n\end{align}\) | \(np\) | \(npq\) | \((q+p\mathrm{e}^{\mathrm{i}t})^n\) |
| 泊松分布 | \(\begin{align}&P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!}\mathrm{e}^{-\lambda},\quad \lambda>0\\&k=0,1,\cdots\end{align}\) | \(\lambda\) | \(\lambda\) | \(\mathrm{e}^{\lambda(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t}-1)}\) |
| 几何分布 | \(\begin{align}&P(X=k)=pq^{k-1},\qquad 0<p<1,\\&p+q=1,\qquad k=1,2,\cdots\end{align}\) | \(\frac{1}{p}\) | \(\frac{q}{p^2}\) | \(\frac{p\mathrm{e}^{\mathrm{i}t}}{1-q\mathrm{e}^{\mathrm{i}t}}\) |
| 均匀分布 | \(f(x)=\begin{cases}&\frac{1}{b-a},\qquad a<x<b\\&0,\qquad\qquad else\end{cases}\) | \(\frac{a+b}{2}\) | \(\frac{(b-a)^2}{12}\) | \(\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}bt}-\mathrm{e}^{\mathrm{i}at}}{\mathrm{i}(b-a)t}\) |
| 正态分布 | \(f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\mathrm{e}^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\) | \(\mu\) | \(\sigma^2\) | \(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\mu t-\frac{\sigma^2 t^2}{2}}\) |
| 指数分布 | \(f(x)=\begin{cases}\lambda\mathrm{e}^{-\lambda x},\qquad x\geqslant0\\0,\qquad\qquad x<0\end{cases},\qquad \lambda>0\) | \(\frac{1}{\lambda}\) | \(\frac{1}{\lambda^2}\) | \((1-\frac{\mathrm{it}}{\lambda})^{-1}\) |
1.3 应用
1.3.1 证明两个相互独立的正态分布的和仍然是正态分布
首先，对于标准正态分布\(X\thicksim N(0,1)\)的特征函数为
\[ g(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}{\mathrm{e}^{\mathrm{i}tx-\frac{x^2}{2}}}\mathrm{d}x \]
由于其绝对可积，所以可对上式在积分号下求导，得
\[ \begin{cases} g'(t)&=-tg(t)\\ g(0)&=1 \end{cases} \]
解得
\[ g(t)=\mathrm{e}^{-\frac{t^2}{2}} \]
由性质7，正态分布\(Y\thicksim N(\mu,\sigma^2)\)，即\(Y=\sigma X+\mu\)的特征函数为
\[ g_Y(t)=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\mu t-\frac{\sigma^2t^2}{2}} \]
由性质5，两独立正态分布\(Y_1\thicksim N(\mu_1,\sigma_1^2)\)与\(Y_2\thicksim N(\mu_2,\sigma_2^2)\)的和的特征函数为
\[ g_{Y_1+Y_2}(t)=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\mu_1 t-\frac{\sigma_1^2t^2}{2}} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\mu_2 t-\frac{\sigma_2^2t^2}{2}}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\mu_1+\mu_2) t-\frac{(\sigma_1^2+\sigma_2^2)t^2}{2}} \]
这是服从正态分布\(N(\mu_1+\mu2,\sigma_1^2+\sigma_2^2)\)的随机变量的特征函数，所以两个相互独立的正态分布的和仍然是正态分布，且其均值为\(\mu_1+\mu_2\)，其方差为\(\sigma_1^2+\sigma_2^2\)
2. 母函数
2.1 介绍
母函数的定义：设\(X\)是非负整数值随机变量，分布列
\[ p_k=P(X=k),\qquad k=0,1,\cdots \]
则称
\[ P(s):=E[s^X]=\sum_{k=0}^{\infty}{p_ks^k} \]
为\(X\)的母函数。
母函数具有以下性质：
非负整数值随机变量的分布列由其母函数唯一确定；
设\(P(s)\)是\(X\)的母函数，若\(EX\)存在，则
\[ EX=P'(1); \]
若\(DX\)存在，则
\[ DX=P''(1)+P'(1)-[P'(1)]^2; \]
独立随机变量之和的母函数等于母函数之积；
若\(X_1,X_2,\cdots\)是相互独立且同分布的非负整数值随机变量，\(N\)是与\(X_1,X_2,\cdots\)独立的非负整数值随机变量，则\(\begin{aligned}Y=\sum_{k=1}^N{X_s}\end{aligned}\)的母函数为
\[ H(s)=G(P(s)) \]
其中\(G(s)\)、\(P(s)\)分别是\(N\)、\(X_1\)的母函数。
2.2 应用
[后续补充]
