【整理】《概率论与数理统计》第一章-基础知识
1. 概率论与数理统计-第一章
1.1 定义
【定义】随机试验
满足以下三个条件的试验：
可在相同条件下重复进行
每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果
进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现
【定义】概率
设\(\mathbf{E}\)是随机试验，\(\mathbb{S}\)是它的样本空间。对于\(\mathbf{E}\)的每一个事件\(A\)，赋予一个实数，记为\(\mathbf{P}(A)\)，称为事件\(A\)的概率，如果集合函数\(\mathbf{P}(\cdot)\)满足：
非负性：对 \(\forall A\) 有 \(\mathbf{P}(A)\geqslant0\)
规范性：对必然事件 \(\mathbb{S}\) 有 \(\mathbf{P}(\mathbb{S})=1\)
可列可加性：设 \(A_1,\,A_2,\,A_3,\,\cdots\) 是两两互不相容的事件，即 \(A_iA_j=\emptyset,\,i \neq j\) 有 \(\mathbf{P}(A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cdots)=\mathbf{P}(A_1)+\mathbf{P}(A_2)+\mathbf{P}(A_3)+ \cdots\)
【定义】条件概率
\[\mathbf{P}(B | A)=\frac{\mathbf{P}(AB)}{\mathbf{P}(A)}, \quad \mathbf{P}(A)>0\]
即事件 \(A\) 发生的条件下，事件 \(B\) 发生的概率。显示，条件概率 \(\mathbf{P}(\cdot | A)\) 符合概率定义的三个条件。故概率的性质，条件概率与适用。
【定义】相互独立
相互独立 \(\Leftrightarrow \mathbf{P}(AB)=\mathbf{P}(A)\mathbf{P}(B)\)
如果 \(\mathbf{P}(A)>0\)，则相互独立 \(\Leftrightarrow \mathbf{P}(B|A)=\mathbf{P}(B)\)。 如果 \(\mathbf{P}(B)>0\)，则相互独立 \(\Leftrightarrow \mathbf{P}(A|B)=\mathbf{P}(A)\)。 如果 \(A,B\) 相互独立，则 \(\overline{A}\) 与 \(B\)，\(A\) 与 \(\overline{B}\)，\(\overline{A}\) 与 \(\overline{B}\) 都相互独立 \(n\)（\(n \geqslant 2\)）个事件相互独立，则要求其中任意\(2\)个，\(3\)个，……，\(n\)个事件的积分别等于它们概率的积 多个事件相互独立，则它们的任意组合也相互独立 如果多个事件相互独立，则将其中任意个事件换成它们的对立事件，这些事件也相互独立
1.2 公式
【公式】加法公式
\[\mathbf{P}(A \cup B)=\mathbf{P}(A)+\mathbf{P}(B)-\mathbf{P}(AB)\]
【注】\(A,B\)是任意的
【公式】一般加法公式
\[\begin{align}\mathbf{P}(A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup \cdots)=&\sum_{i=1}^{n}{\mathbf{P}(A_i)} \\ &-\sum_{1\leqslant i < j \leqslant n}^{n}{\mathbf{P}(A_i A_j)} \\ &+\sum_{1\leqslant i < j < k \leqslant n}^{n}{\mathbf{P}(A_i A_j A_k)} \\&+ \\& \cdots \\&+ (-1)^{n-1}\mathbf{P}(A_1 A_2 \cdots A_n)\end{align}\]
【注】\(n\) 是有限的
【公式】乘法公式
\[\begin{align}\mathbf{P}(AB)=&\mathbf{P}(B|A)\mathbf{P}(A),\quad \mathbf{P}(A)>0\\ & \mathbf{P}(A|B)\mathbf{P}(B), \quad \mathbf{P}(B)>0\end{align}\]
【公式】全概率公式
\[\mathbf{P}(A)=\sum_{i=1}^{n}{\mathbf{P}(A|B_i)\mathbf{P}(B_i)}\]
其中，\(B_i\) 为样本空间 \(\mathbb{S}\) 的一个划分，即 \(B_1 \cup B_2 \cup B_3 \cup \cdots \cup B_n=\mathbb{S}\)，且 \(B_i \cap B_j = \emptyset, \, i \neq j\)，且\(\mathbf{P}(B_i)>0\)
【公式】贝叶斯（Bayes）公式
\[\mathbf{P}(B_i | A)=\frac{\mathbf{P}(A|B_i)\mathbf{P}(B_i)}{\sum_{i=1}^{n}{\mathbf{P}(A|B_i)\mathbf{P}(B_i)}}\]
其中，\(B_i\) 为样本空间 \(\mathbb{S}\) 的一个划分，且 \(\mathbf{P}(A)>0,\,\mathbf{P}(B)>0\) 【注】在以上两公式中，要求\(B_i\)是样本空间的一个划分，将这一条件改为 \(B_i B_j=\emptyset,\,i \neq j\) 且 \(\mathbf{P}\left(\bigcup_{i=1}^{n}{B_i}\right)=1\)，两公式仍然成立。
