一、问题 【题目】在自然数\(\{1,2,\cdots,N\}\)中随机抽取\(n\)个样本，求最小的\(k\)个样本的平均值的期望。 【定义】为方便讨论，记样本为\(\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}\)，大小排在第\(k\)位的样本记为\(X_{(k)}\)。

题目 已知数列\(\{a_n\}\)满足条件 \(a_n=a_{n-1}+a_{n-2}\)，且 \(a_{15}=1\)，记 \(S_n=\sum_{i=1}^n{a_i}\)，求 \(S_{26}\)。

一、定义 1.1 样本与结果的分类 如下图所示，以阴阳（Negative青，Positive黄）标记样本实际类别（如：阴阳、正负、男女、是否、有无……），以真假（True，False斜线阴影）描述预测结果是否正确，因此可将样本分为4类，简记为： 真阳（TP）：样本为阳，预测为阳（黄绿色）； 假阴（FN）：样本为阳，预测为阴（黄绿色+斜线）； 真阴（TN）：样本为阴，预测为阴（青绿色）； 假阳（FP）：样本为阴，预测为阳（青绿色+斜线）。

博客版本文 一、简介 辛普森悖论（Simpson’s paradox），也被称为： 辛普森的逆转（Simpson’s reversal） 尤尔-辛普森效应（Yule–Simpson effect） 合并悖论（amalgamation paradox） 逆转悖论（reversal paradox） 但其实这不是个真正的悖论，它内部没有包含逻辑上的矛盾，只是有些违背人们的常理罢了。 导致辛普森悖论有两个前提： 至少存在两个分组的指标值相差很大，而且两类样本分布比重相反（一类样本指标大的分组占比小，另一类样本指标大的占比大）。 有潜在因素影响指标：两类样本的划分方法（性别）并非是影响指标的唯一因素，甚至可能是毫无影响的。 参考： 辛普森悖论 Simpson’s paradox

周期函数介绍 定义 【周期函数】对于实函数\(f(x)\)，如果\(\exists T\neq0\)对\(\forall x\)有\(f(x+T)=f(x)\)，则\(f(x)\)为周期函数，\(T\)为\(f\)的一个周期。 【最小正周期】在函数\(f\)所有大于零的周期中，最小的周期为该函数的最小正周期。常函数虽然是周期函数，但无最小正周期。 基本性质 从周期函数的定义出发，直接可以得到以下两个重要性质： 周期函数的定义域，肯定不是有限区间，至少有一侧是无穷的； 非常数周期函数的周期，必然都是其最小正周期的整数倍（可以是负整数倍）； 如果\(T_1\neq0,\;T_2 \neq 0\)都是函数\(f\)的周期，且\(\begin{aligned}\frac{T_1}{T_2}\notin \mathbb Q\end{aligned}\)，则函数\(f\)不存在最小正周期，是一个常数函数； 若\(f\)是一个周期函数，且\(T\)是它的一个周期，则对\(\forall a_1,a_2,t_1,t_2\in \mathbb R\)，函数\(h(x)=a_1 f(x+t_2)+a_2 f(x+t_2)\)依然是一个周期函数，且\(T\)依然是它的一个周期。 例题 【题目】设\(f(x)=\sin(\sqrt{3}x)\)，\(g(x)=\sin(\sqrt{5}x)\)，\(h(x)=f(x)+g(x)\)，讨论\(h(x)\)的周期性。

分组方差： 有 \(c\) 组样本，已知每组样本的统计量：第 \(i\) 组样本的样本量 \(n_i\geqslant 2\)、样本均值 \(\overline{X_i}=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{j=1}^{n_i}...

1. 特征函数 1.1 介绍 特征函数是研究随机变量分布的一个重要工具。由于分布和特征函数之间存在一一对应关系，因此在得知随机变量的特征函数后，就可以知道它的分布。用特征函数求随机变量的分布律比直接求随机变量的分布容易得多，而且特征函数具有良好的分析性质。 特征函数的定义：设随机变量的分布函数为\(F(x)\)，称 \[ g(t)=E[\mathrm{e}^{\mathrm{i}tx}]=\int_{-\infty}^{+\infty}{\mathrm{e}^{\mathrm{i}tx}}\mathrm{d} F(x),\qquad -\infty<t<+\infty \] 为\(X\)的特征函数。 特征函数\(g(t)\)是实变量\(t\)的复值函数，由于\(|\mathrm{e}^{\mathrm{i}tx}|=1\)，故随机变量的特征函数必然存在。

一、问题介绍 1.1 背景 蒙提霍尔问题，亦称为蒙特霍问题或三门问题（英文：Monty Hall problem），是一个源自博弈论的数学游戏问题，大致出自美国的电视游戏节目Let’s Make a Deal。问题的名字来自该节目的主持人蒙蒂•霍尔。 详情参见：维基百科 1.2 玩法 1.2.1 原描述方式 背景：参赛者会看见三扇关闭的门，其中一扇门后面有奖品，选中后面有奖品的那扇门就可以赢得该奖品，而另外两扇门后面则没有任何东西。 当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，知道门后情形的节目主持人，会在剩下的两扇门中开启没有任何东西的一扇。主持人此时会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。 问题：换另一扇门会否增加参赛者赢得汽车的机会率？

【整理】《概率论与数理统计》第一章-基础知识